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预备知识1

Ⅰ常用符号1

一、集合符号1

二、数集符号1

三、逻辑符号2

四、其他符号3

Ⅱ常用不等式3

一、绝对值不等式3

二、伯努利不等式4

三、均值不等式4

四、双阶乘不等式5

五、三角不等式5

第一章 函数与极限7

1.1函数及其初等性质7

一、集合的映射与集合的基数7

二、函数的概念10

三、函数的初等性质13

练习题1.115

1.2复合函数与反函数17

一、复合函数18

二、反函数19

三、初等函数20

练习题1.221

1.3数列的极限22

一、数列极限概念22

二、收敛数列的性质与运算26

三、数列的收敛原理30

四、子数列34

练习题1.336

1.4函数的极限38

一、函数极限概念38

二、函数极限的性质与运算43

三、函数极限的存在原理47

练习题1.450

1.5无穷小和无穷大52

一、无穷小52

二、无穷大52

三、无穷小的比较54

练习题1.557

1.6上极限和下极限58

一、数列的上极限和下极限58

二、函数的上极限和下极限63

练习题1.664

第二章 连续函数66

2.1连续函数66

一、函数的连续性与连续函数66

二、间断点及其分类69

练习题2.171

2.2连续函数的性质72

一、连续函数的局部性质72

二、连续函数的整体性质74

三、反函数的连续性79

四、初等函数的连续性79

练习题2.281

第三章 导数与微分84

3.1导数84

一、变化率问题实例84

二、导数概念85

练习题3.190

3.2求导法则与导数公式91

一、导数的四则运算法则92

二、反函数的求导法则93

三、复合函数的求导法则94

四、初等函数的导数96

五、导数的应用97

练习题3.299

3.3隐函数与参数方程求导法则101

一、隐函数求导法则101

二、参数方程求导法则103

练习题3.3105

3.4微分106

一、微分概念106

二、微分的运算法则和公式108

三、微分在近似计算上的应用109

练习题3.4111

3.5高阶导数和高阶微分111

一、高阶导数111

二、高阶微分114

练习题3.5115

第四章 微分学基本定理及其应用117

4.1中值定理117

一、费马引理117

二、罗尔定理118

三、拉格朗日定理119

四、柯西定理122

练习题4.1123

4.2洛必达法则125

一、0／0型125

二、∞／∞型127

三、其他待定型129

练习题4.2130

4.3泰勒公式131

一、泰勒公式131

二、常用的几个展开式及其应用135

练习题4.3139

4.4利用导数研究函数140

一、函数的单调性140

二、函数的极值与最值142

三、函数的凸凹性146

四、曲线的渐近线151

五、函数作图152

练习题4.4153

第五章 积分学156

5.1定积分156

一、积累问题实例156

二、定积分概念158

5.2定积分的性质160

一、定积分的性质160

二、积分中值定理162

练习题5.2163

5.3微积分基本定理164

一、依照定义计算定积分164

二、积分上限函数与原函数165

三、微积分基本公式166

练习题5.3168

5.4不定积分169

一、不定积分概念169

二、不定积分的运算法则169

练习题5.4171

5.5不定积分的计算172

一、分部积分法172

二、换元积分法174

三、有理函数的不定积分178

四、可有理化函数的不定积分181

练习题5.5184

5.6定积分的计算186

一、定积分的分部积分法186

二、定积分的换元积分法187

练习题5.6189

5.7定积分的应用191

一、微元法191

二、平面区域的面积192

三、平面曲线的弧长194

四、已知截面面积的立体的体积197

五、旋转体的侧面积198

六、液体压力与变力作功199

七、利润问题与成本问题200

八、平均值201

练习题5.7202

5.8可积性理论203

一、可积准则203

二、勒贝格定理206

三、可积函数类与定积分的性质211

练习题5.8215

第六章 实数理论217

6.1实数的构造217

一、实数的定义217

二、实数的四则运算220

三、实数的序关系222

四、实数与有理数的关系223

练习题6.1224

6.2实数的连续性224

一、实数的连续性224

二、实数连续性的几个等价定理227

练习题6.2232

附录 几种常用的曲线233

练习题答案236

参考文献247