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第1章 辅助命题1

1.1 符号．分析中的一些命题1

1.1.1 赫尔德（H？lder）不等式4

1.1.2 弗里德里希斯（Friedrichs）不等式5

1.1.3 非负函数的导数的估计6

1.2 磨光函数．广义导数6

1.3 广义函数理论的基本概念与定理12

1.3.1 广义函数空间D′（Ω）12

1.3.2 广义函数的直积14

1.3.3 广义函数的卷积17

1.3.4 广义函数空间S′（R？）21

1.3.5 微分方程的广义解27

1.3.6 空间Hk（Ω）27

第2章 偏微分方程的分类29

2.1 归结为偏微分方程的一些物理问题29

2.2 柯西问题．特征．方程的分类35

第3章 拉普拉斯方程48

3.1 调和函数．泊松方程．格林公式48

3.2 基本解50

3.3 借助势表示解52

3.4 基本边值问题54

3.5 算术平均定理．极值原理55

3.6 格林函数．球的狄利克雷问题的解61

3.7 边值问题解的唯一性和对边界条件的连续依赖性66

3.8 导数的先验估计．解析性72

3.9 刘维尔定理和弗拉格门-林德勒夫定理78

3.10 调和函数的孤立奇点．在无穷远点邻域中的性态．无界区域的狄利克雷问题86

3.11 关于调和函数序列．拉普拉斯方程的广义解．外尔引理93

3.12 牛顿势．拉普拉斯算子的亚椭圆性98

3.13 狄利克雷问题的广义解102

3.13.1 ？1（Ω）中函数的迹104

3.13.2 具有齐次边界条件的狄利克雷问题107

3.13.3 变分方法109

3.13.4 具有非齐次边界条件的狄利克雷问题112

第4章 热传导方程115

4.1 格林公式．基本解115

4.2 解借助于势的表示．解的无穷次可微性121

4.3 边值问题与柯西问题的提法123

4.4 有界区域与无界区域中的极值原理124

4.5 边值问题与柯西问题解的先验估计．唯一性定理．解的稳定性129

4.6 导数的估计．解对变量x的解析性．应用134

4.7 刘维尔定理．关于可去奇点的定理．解族的紧性140

4.8 借助傅里叶变换解柯西问题．体热势的光滑性146

4.9 广义解．热传导算子的亚椭圆性153

第5章 双曲型方程与双曲型方程组157

5.1 波动方程157

5.1.1 柯西问题．能量不等式157

5.1.2 在n=3时柯西问题的解．基尔霍夫公式160

5.1.3 降维法．在n=2时柯西问题的解．泊松公式163

5.1.4 弦振动方程的达朗贝尔公式164

5.1.5 基尔霍夫公式、泊松公式和达朗贝尔公式的定性研究．波在不同维数空间中的传播166

5.1.6 非齐次方程．杜阿梅尔原理169

5.2 弦振动方程的混合问题170

5.3 双曲型偏微分方程组的柯西问题183

5.4 柯西定理183

5.5 柯瓦列夫斯卡娅定理及其推广186

5.5.1 柯瓦列夫斯卡娅定理的证明187

5.5.2 某些推广189

5.5.3 不存在解析解的例子190

5.6 可对称化组．戈杜诺夫条件191

5.7 对称组柯西问题的解193

5.7.1 唯一性定理194

5.7.2 嵌入定理197

5.7.3 先验估计199

5.7.4 常系数方程组柯西问题解的存在性200

5.7.5 杜阿梅尔原理204

5.8 柯西问题的广义解205

参考文献208

名词索引211

译者后记214