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第一章 集1

1. 集及其运算1

1.集的概念1

2.集的运算2

3.上限集与下限集5

2. 可数集7

1.可数集8

2.可数势？9

3. 连续势11

1.连续统12

2.连续势的运算15

4. 势的比较16

1.Bernstein定理17

2.幂集19

1.Russell 悖论21

5. 集合公理系21

3.连续统假设21

2.数学“危机”22

3.集合公理系23

习题一24

第二章 点集26

1. 开集.闭集.完全集26

1.开集26

2.闭集27

3.完全集29

2. 开集、闭集的构造32

1.开集的构造32

2.闭集的构造32

3.稠密集与疏朗集33

3. Rn中开集、闭集的构造，点集隔离性35

1.Rn中开集、闭集的构造35

2.点集间距离与隔离性37

1.序40

4. 序集40

2.Zorn引理41

5. Peano曲线42

1.Cantor曲线42

2.Peano曲线42

3.Sierpinski地毯44

习题二46

1.有界开集G的测度48

1. 直线上开集、闭集的测度48

第三章 测度48

2.有界闭集F的测度49

3.开集测度与闭集测度的关系51

2. 外测度与内测度53

1.外测度与内测度的概念53

2.外测度与内测度的性质54

3.外测度与内测度的半可加性55

1.定义56

3. Lebesgue测度56

2.外、内测度互补性58

3.Vallée Poussin定理59

4.极限包与极限核60

5.Carathéodory定理62

4. Borel集63

1.Borel集63

2.L可测集类64

3.不可测集66

5. Rn中的点集测度68

1.开集的测度69

2.外测度69

3.Rn中的可测集70

4.Carathéodory条件70

习题三71

第四章 可测函数73

1. 可测函数及其性质73

1.Lebesgue可测函数74

2.简单函数75

3.L可测的充要条件76

2. 可测函数列的上、下极限78

1.函数列的上下确界函数78

2.函数列的上下极限函数79

3.发散点集81

4.Baire函数类84

3. 概收敛与测度收敛88

1.概收敛与测度收敛概念88

2.概收敛与测度收敛的关系89

3.Egorov定理92

4. 可测函数的构造-Luzin定理94

1.Luzin定理94

2.Luzin定理的拓广96

习题四98

1. Lebesgue积分的概念100

第五章 Lebesgue积分100

1.Lebesgue积分102

2.有界可积与有界可测105

3.Baire上、下函数，Riemann可积充要条件108

4.Lebesgue可积函数112

2. Lebesgue积分的性质115

1.L积分的简单性质115

2.积分绝对连续性与完全可加性117

3.Lebesgue基本引理119

3. 积分号下取极限120

1.Levi定理120

2.Fatou引理121

3.Lebesgue控制收敛定理122

4.Vitali定理124

4. Fubini定理126

1.直积测度126

2.下方图形128

3.截面定理130

4.Fubini定理132

5. 囿变函数与绝对连续函数135

1.囿变函数135

2.Jordan分解定理138

3.Vitali覆盖引理143

4.单调函数的导数146

5.绝对连续函数152

6. Stieltjes积分160

1.Stieltjes积分160

2.S积分存在条件163

3.积分号下取极限165

习题五168

第六章 一般测度与积分171

1. 集系171

1.环与代数171

3.Borel集系174

2.σ代数174

2. 测度空间176

1.可测空间176

2.测度的基本性质177

3.Carathéodory条件180

4.测度的扩张184

3. 一般积分188

1.μ可测函数188

2.一般积分189

3.Lebesgue-Stieltjes积分191

4. Radon-Nikodym定理192

1.测度绝对连续性193

2.Hahn分解195

3.Radon-Nikodym定理200

4.Lebesgue分解206

习题六209

参考书目212

索引214